夜色文学

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第156章 出色的表现（第1页）

大厅内气氛凝重，十五名优秀选手坐在考场前排，目光炯炯有神。

教授们一字排开，俨然一副要掀翻天的架势。

黄国栋心中暗喜，嘴角勾起一抹自信的微笑。

他环顾四周，心中暗暗想着。

"哼，这些教授肯定会先考我。

"

"从头到尾，我的能力可是很优秀的，众人都是看在眼里的。

"

“最多，会被周群和林诗雨分走一些关注。”

“但是，自己肯定受到的提问和关注也不会少的。”

然而，只是他的一厢情愿罢了。

清华大学的秦教授突然开口，第一个问题直接问的周群。

"周群同学，请你证明：对于任意正整数n，表达式n^4+4^n永远不可能是完全平方数。

"

这道题如同一记重拳，直接击碎了黄国栋的美梦。他不可置信地瞪大眼睛，嘴巴微张，活像一条脱水的鱼。

周围响起一片倒吸凉气的声音。这题目的难度，简直是要人命！

然而，周群却面不改色，眼中闪过一丝兴奋的光芒。他站起身，声音沉稳有力：

"谢谢秦教授，我有以下思路......

"

谢谢秦教授，我的证明思路如下：

先，我们可以注意到，当n为奇数时，n^4是奇数，4^n是偶数，它们的和必然是奇数，而奇数不可能是完全平方数。所以我们只需考虑n为偶数的情况。

当n为偶数时，我们可以将表达式写成：n^4+4^n=（n^2-2^n）（n^2+2^n）+2·4^n

接下来，我们证明（n^2-2^n）（n^2+2^n）和2·4^n的差永远是2。

设f（n）=（n^2-2^n）（n^2+2^n）+2-2·4^n

我们可以通过数学归纳法证明f（n）=o对所有偶数n成立。

因此，n^4+4^n可以表示为（n^2-2^n）（n^2+2^n）+2。

假设n^4+4^n是完全平方数，那么它减去2应该也是完全平方数。但是，（n^2-2^n）（n^2+2^n）是两个因子的乘积，除非这两个因子相等，否则它不可能是完全平方数。

然而，n^2-2^nn^2n^2+2^n，所以这两个因子永远不可能相等。

因此，我们证明了对于任意正整数n，n^4+4^n永远不可能是完全平方数。